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2013复习必须搞懂的结构性问题1

  • 2014-09-28  作者:tech  阅读:1236次
  • 【集合与命题部分测试题】

    1.若集合是集合的真子集,其意义为                           .

    2.请用描述法表示                        

                .

    3.若命题成立,可以推出命题也成立,那么,叫做的        

    叫做的        .

    不等式部分的教学目标

    (1)掌握不等式的基本性质,熟练掌握一元二次不等式(组)的解法,会用不等式的基本性质对分式不等式、含有绝对值的不等式、简单的指数不等式和对数不等式进行同解变形.掌握基本不等式1和基本不等式2,明确其成立的范围和等号成立的条件.

    (2)能推导不等式的基本性质,并会用其判断不等关系,会用比较法、综合法和分析法证明简单的不等式;理解和体会一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的内在联系,并从中领会“数形结合”和“化归”的数学思想.了解基本不等式1和基本不等式2的几何解释,并在其推导过程中感受变量代换的数学方法.

    (3)会用基本不等式证明简单的不等式和求有关问题的最大值或最小值;会用不等式的知识解决简单的实际问题,感受不等式和生活的联系,体会不等式与函数、方程之间的相互联系和相互转化规律.

    不等式部分的知识结构图

    不等式部分必须搞懂的结构性问题

    问题1:不等式的基本性质有哪些?推导它们的基本依据是什么?

    【答】教材中有8条性质(第31页边框中)。

    推导它们的基本依据是关于不等关系的基本事实:

    这也是比较法的依据。

    要求学生用比较法证明基本性质1—6,用函数的单调性解释基本性质7,用反证法证明基本性质8(教材例题).

    【测试题】

    1.我们知道,不等关系有以下基本事实:

    .

    请你按照教材中的顺序写出不等式的基本性质,并以基本事实为依据证明其中的三个基本性质.

    2.求证:(1)若,,则;

    (2)若,则;

    (3)若,则.

    提示:(1)

    (2)用数学归纳法;

    (3)方法1:反证法;方法2:利用幂函数的单调性。

    问题2:一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间有何联系?

    【答】我们以一元二次不等式和为例,疯狂的石头:说明一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数之间的内在联系

    二次函数

    的图像

    一元二次方程

    的根

    有两个相异实根

    有两个相等实根

    没有实根

    的解集

    R

    的解集

    同学们可类似的写出一元二次不等式和的解集.实际上,将不等式两端同乘以,即可将问题转化为上表中的问题.

    问题3:解分式不等式、含有绝对值的不等式、简单的指数不等式和对数不等式的思想方法是什么?

    【答】解这些不等式的思想方法是转化,即利用同解变形法则将其转化为解整式不等式(组)的问题.如解不等式,利用同解变形法则可将问题转化为解不等式组注意:对数的真数大于零,否则不是同解变形.

    问题4:基本不等式1是基于那个基本事实?基本不等式2是如何推导出的?

    【答】基本不等式1是基于基本事实:,当且仅当时等号成立。

    让学生在推导基本不等式2的过程中感受变量替换的思想。

    问题5:在运用基本不等式解决数学问题时应注意什么?

    【答】(1)基本不等式是对某个确定范围内一切数值恒成立的不等式,也称恒不等式,在运用基本不等式1和基本不等式2解决数学问题时,首先要明确它们成立的条件不同. 基本不等式1只要求、都是实数,而基本不等式2 要求、都是正实数,若忽略这一点常常会犯错.如见到形如的代数式,就断定是不对的.

    (2)基本不等式1和基本不等式2中都有“当且仅当时等号成立”,这意味着,在运用它们解决数学问题时,等号是否成立常常需要验证.如:求函数的最小值时,利用基本不等式2得到,从而得到该函数的最小值为2是错误的.事实上,由于方程无实数根,即对任意的实数,都有,所以,2不是该函数的最小值.在运用基本不等式解决实际应用问题中的最值问题时,尤其要验证等号是否成立.

    (3)在运用基本不等式解决有关含有两个变量的代数式的最大值或最小值问题时,通常要求代数式中的两个变量的和或积为定值,即,“和为定值,积有最大值”,“积为定值,有和最小值”.用函数的观点来解释就是:当代数式中的两个变量的和或积为定值时,问题就可以转化为函数(一个变量)的最值问题.

    【测试题】. . . . . . . . . . . . . . . .

    1.请你叙述并证明基本不等式1和基本不等式2,并解释其几何意义.

    2.求证:(1)在周长相等的矩形中,正方形的面积最大;

    (2)在面积相等的矩形中,正方形的周长最小.


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