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2013复习必须搞懂的结构性问题4

  • 2014-09-28  作者:tech  阅读:1399次
  • 三角比与三角函数中的结构性问题

    任意角的三角比

    “三角比与三角函数”中学生必须搞懂的结构性问题

    1、任意角、象限角、正角、负角、零角的概念是如何定义的?

    2、如何用代数的方法表示角?(角度制、弧度制(为什么要引入))

    3、任意角的三角比是如何产生的?(角的终边上点P变化中的不变量)

    4、由任意角的三角比定义可以直接推导哪些三角比公式?如何推导?(诱导公式和同角三角比关系)

    5、为什么要研究两角和与差、倍角、半角(万能公式)的三角比公式?(三角比运算律)

    6、在问题5中所述的
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    7、如何推导问题5中所述的
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    8、正弦定理、余弦定理的主要功能是什么?(是任意三角形边、角之间的不变的等量关系;是实现边角转化、代数与三角转化的工具)

    9、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质中,哪些性质可通过观察函数图像得到?哪些性质可通过三角比公式推得?(奇偶性、最值、零点、周期性可推导)

    10、如何实现将的问题转化为的问题?理论依据是什么?(令,依据是符合函数的性质,一般学校可酌情处理依据问题)

    11、反三角函数是如何定义的?

    教学目标

    1.理解任意角的概念,掌握任意角的度量,能写出任意角及其终边相同的角的集合,能用不等式或区间表示给定范围的角;会进行弧度制与角度制的互化,掌握圆的弧长公式和扇形的面积公式;掌握任意角三角比的定义,会运用任意角三角比的定义推导终边相同的角的三角比公式和判别三角比在各象限的符号.

    2.理解引入弧度制的必要性;在任意角以及任意角的三角比定义中感受数形结合的思想;感受单位圆在研究与任意三角比定义相关内容所带来的方便.

    3.感受任意角的概念与实际生活的联系,体会任意角的三角比定义中数学的高度概括性与抽象性,以及其中数学的内在美.

    知识结构

    结构性问题

    1、任意角、象限角、正角、负角、零角的概念是如何定义的?

    2、如何用代数的方法表示角?(角度制、弧度制(为什么要引入))

    说明  三角函数是一类以“角”为自变量的具体的函数.由于函数的定义域和值域都是实数集或其子集,为了保证数学系统内部的和谐、函数的相关知识与研究方法的一致性,也是使研究相关的问题更简便,在高中我们学习度量任意角的弧度制.度量任意角的弧度制建立起了角与实数之间的联系,而后定义的任意角的三角比实现了弧度制表示的角(实数)到三角比(实数)的对应关系.

    问题1 相等的角终边是否一定相同?终边相同的角是否一定相等?

    说明  相等的角终边一定相同.但终边相同的角不一定相等,它们相差周角的整数倍.如弧度数分别为 和的角终边相同,但两者不相等,它们相差的整数倍.

    3、任意角的三角比是如何产生的?(角的终边上点P变化中的不变量)

    例题解析

    例题1判断下列命题的真假,并说明理由:

    1)若,则是第一象限的角;

    2)第一象限的角都是锐角;

    3)若是第一象限的角,则也必是第一象限的角;

    4弧度的角与的角是终边相同的角;

    5)终边在轴上的角的集合为

    6)终边在轴上方(顶点除外)的角的集合为.

    分析 说明命题是真命题必须有理有据,说明命题是假命题只需举一个反例即可.

    (1)假命题.

    或都不是第一象限的角.

    (2)假命题.

    第一象限角满足,显然当时,惹上冷殿下:并非锐角.

    同样地,第二象限的角不一定是钝角;终边在轴正半轴上的角不一定是直角.

    (3)假命题.

    因为第一象限的角,但并不是第一象限的角.

    事实上,由于第一象限的角满足:,则

    .

    所以,当为偶数时,第一象限的角;当为奇数时,第三象限的角.

    (4)真命题.

    因为

    所以,弧度的角与的角是终边相同的角.

    (5)真命题.

    为偶数时,角的终边在轴的正半轴上;当为奇数时,角的终边在轴的负半轴上.

    相应地,可写出终边在轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为.

    (6)真命题.

    由任意角和终边相同的角的定义可直接写出.

    相应地,可写出终边在轴右方(顶点除外)的角的集合为.    

    说明 本题学习水平 B.

    一般来说,判断命题的真假需要你明确相关的正确命题成立的条件和结论,只有这样,你才能做到在证明为真的过程中推理严谨,在证明为假时恰当的举出反例.

    例题2 已知角的终边经过点,求角的六个三角比的值.

    分析 运用任意角的三角比定义可直接求得.

    因为,所以

    所以,,,

    ,,.

    说明 本题学习水平 B.

    例题3,试用任意角的三角比定义证明:

    证明 是角终边上任意一点,且,则任意角的三角比定义,有

    所以,原式成立.

    说明 本题学习水平 B.

    任意角的三角比定义是三角部分的核心概念,许多三角比关系都是由它推导得出的

    【学习训练】

    练习3.1

    一.填空题

    1._______弧度.

    2.终边落在轴的正半轴上的角可表示为

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